គណិតវិទ្យា

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែកម្ពុជា២០១២៖ អនុគមន៍ f កំណត់ដោយ f(x)=a^x /(a^x+√a)

April 12, 2012 By វិចិត្រ 8 Comments

៦. (២០ ពិន្ទុ) អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $\displaystyle f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt{a}}$ ដែល $a$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមានហើយខុសពី $1$ ។ គណនាផលបូក

$\displaystyle S=f\left(\frac{1}{2012}\right)+f\left(\frac{2}{2012}\right)+\cdots+f\left(\frac{2011}{2012}\right)$

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែកម្ពុជា២០១២៖ ពហុធា មានឫសប្រាំផ្សេងគ្នា

April 12, 2012 By វិចិត្រ 4 Comments

៥. (១៥ ពិន្ទុ) ពហុធា $r(x)=x^5-5x^3-3x^2+2x+1$ មានឫសប្រាំផ្សេងគ្នា $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ ហើយ $s(x)=-x^2+5$ ជាពហុធាមួយទៀត។ គណនាផលគុណ $p=s(a_1)s(a_2)s(a_3)s(a_4)s(a_5)$ ។
[Read more...]

Filed Under: គណិតវិទ្យា, អប់រំ Tagged With: គណិតវិទ្យា

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែកម្ពុជា២០១២៖ ស្វ៊ីត (x_n) កំណត់ដោយ x_n+1=x_n+x_n-1

April 10, 2012 By វិចិត្រ Leave a Comment

ស្វ៊ីត $\left( x_n \right)$ កំណត់ដោយ $x_1=1, x_2=1$ និង $x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$ ចំពោះ $n \ge 2$ ។

ក. បង្ហាញថា $x_{k+1}.x_{k+2}-x_k.x_{k+3}=(-1)^k$ ចំពោះ $k\in \mathbb{N}$ ។

ខ. គេតាង $\mathrm{acot}$ ជាអនុគមន៍ច្រាសនៃ អនុគមន៍ $\cot$ ។ បង្ហាញថា

$\mathrm{acot} x_1 - \mathrm{acot}x_3 - \mathrm{acot}x_5 -\cdots - \mathrm{acot}x_{2011}=\mathrm{acot}x_{2012}$

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែកម្ពុជា២០១២៖ សមីការ t^3=3t^2+4t-5 មានឫសបីផ្សេងគ្នា a,b និង c ។

April 10, 2012 By វិចិត្រ Leave a Comment

១១. (២០ ពិន្ទុ) សមីការ $t^3=3t^2+4t-5$ មានឫសបីផ្សេងគ្នា $a,b$ និង $c$ ។ គណនាតម្លៃលេខនៃ

$\displaystyle F=\frac{a^7-b^7}{a-b}+\frac{b^7-c^7}{b-c}+\frac{c^7-a^7}{c-a}$

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែកម្ពុជា២០១២៖ បង្ហាញថា S(a,b) ចែកដាច់នឹង 5 បើ b មិនមែនជាពហុគុណនៃ 4

April 10, 2012 By វិចិត្រ 1 Comment

១០. (២០ ពិន្ទុ) គេឲ្យផលបូក $S(a,b)=(a+1)^b+(a+2)^b+(a+3)^b+(a+4)^b+(a+5)^b$ ដែល $a$ និង $b$ ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមានពីរ។ បង្ហាញថា $S(a,b)$ ចែកដាច់នឹង $5$ បើ $b$ មិនមែនជាពហុគុណនៃ $4$ ។

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែកម្ពុជា២០១២៖ បង្ហាញថា f មិនមែនជាអនុគមន៍ខួប

April 10, 2012 By វិចិត្រ 2 Comments

៩. (១០ ពិន្ទុ) អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ដោយ $f(x)=\cos x +\cos {x\sqrt{p}}$ ដែល $p$ ជាចំនួនបឋម។ បង្ហាញថា $f$ មិនមែនជាអនុគមន៍ខួបលើសំណុំចំនួនពិតទេ។

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែកម្ពុជា២០១២៖ បង្ហាញថា ⌊x/b⌋=⌊⌊x⌋/b⌋

April 10, 2012 By វិចិត្រ 3 Comments

គេតាង $\lfloor x \rfloor$ ជាផ្នែកគត់នៃចំនួនពិត $x$ ដែលកំណត់ដោយ $\lfloor x \rfloor \le x <\lfloor x \rfloor +1$ ។ បង្ហាញថាបើ $b$ ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន នោះ គេបាន

$\displaystyle \left \lfloor \frac{x}{b} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{b} \right\rfloor$

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែកម្ពុជា២០១២៖ រកប្រវែងអតិបរមានៃអង្កត់ទ្រូងរបស់បាតប្រអប់

April 10, 2012 By វិចិត្រ 2 Comments

៤. (១៥ ពិន្ទុ) ប្រអប់មួយមានបាតជាចតុកោណកែងដែលមានអង្កត់ទ្រូងប្រវែង

$\displaystyle D(a)=\frac{a^2-\sqrt{a^4+4}+2}{a}$

ដែល $a>0$ ។ រកប្រវែងអតិបរមានៃអង្កត់ទ្រូងរបស់បាតប្រអប់។

វិញ្ញាសាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យារាជធានី ២០១២ (២)

February 19, 2012 By វិចិត្រ 4 Comments

VIII. ឧបមាថា $x_k, y_k$ $(k=1,2,3,\cdots 2012)$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន និង

$x_1+x_2+\cdots +x_{2012}=y_1+y_2+\cdots +y_{2012}=1$

ស្រាយបញ្ជាក់ថា $\displaystyle \sum_{k=1}^{2012}\frac{x_ky_k}{x_k+y_k}\le\frac{1}{2}$

IX. គេឲ្យ $\displaystyle P_n=\prod_{k=0}^{n}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{3^k}+\left(\frac{1}{9}\right)^{3^k}\right]$ ។ គណនា $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}{P_n}$

X. រកតម្លៃតូចបំផុតនៃ $x$ ដែល $x$ និង $y$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ហើយ

$\displaystyle \frac{2011}{2012}<\frac{x}{y}<\frac{2012}{2013}$

XI. សិស្សប្រុស និង សិស្សស្រីមួយក្រុមបានចូលរួមប្រកួតញ៉ាំភីហ្សានៅផ្សារទំនើបមួយ។ គេដឹងថា ក្នុងភីហ្សាមួយ ត្រូវគេកាត់ជា ១២ ដុំតូចៗ។ សិស្សប្រុសម្នាក់ៗ អាចញ៉ាំអស់ ៦ ឬ ៧ ដុំ និង សិស្សស្រីម្នាក់ៗ អាចញ៉ាំអស់ ២ ឬ ៣ ដុំ។ បើគេដាក់ភីហ្សា ៤ ឃើញថា មិនគ្រប់គ្រាន់ទេ តែបើគេដាក់ភីហ្សា ៥ វិញ នោះវាច្រើនពេក។ តើមានសិស្សប្រុស និង សិស្សស្រីប៉ុន្មាននាក់ ដែលបានចូលរួមប្រកួត។

XII. រកតម្លៃតូចបំផុត និង តម្លៃធំបំផុត នៃអនុគមន៍ $f(x)=x\left(2011+\sqrt{2013-x^2}\right)$

XIII. គេឲ្យគូប $ABCDEFGH$ មានទ្រនុងស្មើ ១ ឯកតា ត្រូវកាត់ដោយប្លង់ $P$ មួយ ដែលមុខកាត់ទទួលបានគឺជាឆកោណនិយ័ត $MNPQRS$ ។ ស្វ៊ែរផ្ចិត $O$ ^មួយចារឹកក្នុងគូបប្រសព្វជាមួយប្លង់ $P$ បានរង្វង់មួយ។ រកផ្ទៃក្រឡា $S$ តំបន់នៅក្នុងឆកោណនិយ័ត ប៉ុន្តែនៅក្រៅរង្វង់។

Filed Under: គណិតវិទ្យា, អប់រំ Tagged With: គណិតវិទ្យា

វិញ្ញាសាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យារាជធានី ២០១២ (១)

February 19, 2012 By វិចិត្រ 8 Comments

I. រកចំនួនគត់ធំបំផុតមានរាង

$\displaystyle A=\frac{2013!+2010!}{2012!+2011!}$

II. រកគ្រប់តម្លៃនៃ $b$ ដែល $B=\overline{11 \cdots 1}-\overline{bb \cdots b}$ ជាចំនួនការេ ដោយដឹងថា លេខ 1 មាន $4024$ ខ្ទង់ និង $b$ មាន $2012$ ខ្ទង់។

III. ដោះស្រាយសមីការ $\left( x^{2012}+1 \right)\left(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2010}\right)=2012 x^{2011}$

IV. ចំពោះចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ក្រាបនៃអនុគមន៍ប៉ារ៉ាបូល $y=\left(n^2+n\right) x^2-(2n+1)x+1$ កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ពីរចំណុច $A_n$ និង $B_n$ ។ គណនា $\displaystyle \sum_{n=1}^{2012}{A_n B_n}$

V. គេឲ្យ $x,y,z$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា

$\displaystyle \frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy}\le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)$

VI. គេឲ្យស្វ៊ីត ${x_n}$ ជាស្វ៊ីតរួម កំណត់ដោយ

$\displaystyle x_1=1, x_2=2012, x_{n+2}=\sqrt[3]{x_{n+1}^2.x_n}$

គណនា $\displaystyle \lim_{n\to\infty}{x_n}$

VII. $ABC$ ជាត្រីកោណដែលមានជ្រុង $AB=13, BC=15, AC=14$ ។ ចំណុច $D, E, F$ នៅលើជ្រុង $AB, BC, AC$ រៀងគ្នា ដែល $\displaystyle \frac{AD}{AB}=x, \frac{BE}{BC}=y, \frac{CF}{CA}=z$ និង $\displaystyle x+y+z=\frac{2}{3}, x^2+y^2+z^2=\frac{2}{5}$ ។ គណនាក្រឡាផ្ទៃត្រីកោណ $DEF$ ។