គណិតវិទ្យា

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែទូទាំងប្រទេស ២០១១ (៤)

April 3, 2011 By វិចិត្រ 13 Comments

ស្វ៊ីត $\left( I_k \right)$ កំណត់ដោយ $I_k=\int_0^{\pi/2} \sin^k x dx$ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ ។ អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ

$f(k)=(k+1)I_k I_{k+1}$

១) កំណត់ទំនាក់ទំនងរវាង $I_k$ និង $I_{k+2}$
២) ប្រៀបធៀប $f(k)$ និង $f(k+1)$ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $k$ ។ គណនា $f(2011)$ ។

ចម្លើយ

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែទូទាំងប្រទេស ២០១១ (៣)៖ ស្វ៊ីត u_{n+1}=u_n+u_{n-1}

April 3, 2011 By វិចិត្រ Leave a Comment

ស្វ៊ីត $\left(u_n \right)$ កំណត់ដោយ $u_1=u_2=1$ និង $u_{n+1}=u_{n}+u_{n-1}$ ចំពោះ $n \ge 2$ ។ បង្ហាញថា

$u_{n+1} u_{n+2}-u_n u_{n+3}=(-1)^n$

ចម្លើយ

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែទូទាំងប្រទេស ២០១១ (១) ៖ បង្ហាញថា លេខរៀងចុងក្រោយជាពហុគុណនៃ ៣

April 3, 2011 By វិចិត្រ Leave a Comment

នៅដើមឆ្នាំ ២០១១ នេះ ចំនួនទេសចរដែលមកទស្សនាប្រាសាទអង្គរវត្តស្មើនឹង $pq(p^2-q^2)$ ដែល $p$ និង $q$ ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ ហើយ $p>q$ ។ គេស្រង់ឈ្មោះទេសចរទាំងនោះដាក់ក្នុងបញ្ជីមួយដោយមានចុះលេខរៀងត្រឹមត្រូវ។ បង្ហាញថា លេខរៀងរបស់ទេសចរចុងក្រោយគេបង្អស់ជាពហុគុណនៃ ៣ ។

ចម្លើយ

កំណែលំហាត់សិស្សពូកែទូទាំងប្រទេស ២០១១ (២) ៖ បង្ហាញថាមានចំណុច M(x,y,z) ច្រើនរាប់មិនអស់

April 3, 2011 By វិចិត្រ Leave a Comment

ចំណុច $M_i (x,y,z)$ មានកូអរដោនេជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់

$x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$

បង្ហាញថា មានចំណុច $M_i (x,y,z)$ ច្រើនរាប់មិនអស់នៅក្នុងលំហ។

សិស្សពូកែកម្ពុជា ២០១១

ចម្លើយ
[Read more...]

Filed Under: គណិតវិទ្យា, អប់រំ Tagged With: number theories, olympiad, គណិតវិទ្យា

លំហាត់សមីការអនុគមន៍សិស្សពូកែហូឡង់ ១៩៩៩

March 30, 2011 By វិចិត្រ Leave a Comment

តាង $f:\mathbb{Z} \to \{-1,1\}$ ជាអនុគមន៍មួយ ដែល

$f(mn)=f(m)f(n), \forall m,n\in \mathbb{Z}$

បង្ហាញថា មានចំនួនគត់វិជ្ជមាន $a$ ដែល $1\le a\le 12$ និង $f(a)=f(a+1)=1$

(សិស្សពូកែហូឡង់ ១៩៩៩)

ចម្លើយ

គណនាលីមីត តាមវិធីអាំងតេក្រាល

March 28, 2011 By វិចិត្រ 1 Comment

គណនាលីមីត

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{1^{2010}+2^{2010}+3^{2010}+\dotsi+n^{2010}}{n^{2011}}$

ចម្លើយ

គណនា P=sin⁡(2π/4025) sin⁡(4π/4025) sin⁡(6π/4025)…sin⁡(4024π/4025)

March 23, 2011 By វិចិត្រ Leave a Comment

គណនា

$\displaystyle P=\sin\left(\frac{2\pi}{4025}\right)\sin\left(\frac{4\pi}{4025}\right)\sin\left(\frac{6\pi}{4025}\right)\dotsi \sin\left(\frac{4024\pi}{4025}\right)$

ចម្លើយ