កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​ទូទាំង​ប្រទេស ២០១១ (៤)

ស្វ៊ីត \left( I_k \right) កំណត់​ដោយ I_k=\int_0^{\pi/2} \sin^k x dx ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួន​គត់​ធម្មជាតិ ។ អនុគមន៍ f កំណត់​ដោយ

f(k)=(k+1)I_k I_{k+1}

១) កំណត់​ទំនាក់ទំនង​រវាង I_k និងI_{k+2}
២) ប្រៀបធៀប f(k) និង f(k+1) ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួន​គត់​ធម្មជាតិ k។ គណនា f(2011)

ចម្លើយ

[Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​ទូទាំង​ប្រទេស ២០១១ (៣)៖ ស្វ៊ីត u_{n+1}=u_n+u_{n-1}

ស្វ៊ីត \left(u_n \right) កំណត់​ដោយ u_1=u_2=1 និង u_{n+1}=u_{n}+u_{n-1} ចំពោះ n \ge 2។ បង្ហាញ​ថា

u_{n+1} u_{n+2}-u_n u_{n+3}=(-1)^n

ចម្លើយ

[Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​ទូទាំង​ប្រទេស ២០១១ (១) ៖ បង្ហាញ​ថា លេខ​រៀងចុង​ក្រោយ​ជា​ពហុគុណ​នៃ ៣

នៅ​ដើមឆ្នាំ​ ២០១១​ នេះ ចំនួន​ទេសចរ​ដែល​មក​ទស្សនា​ប្រាសាទ​អង្គរ​វត្ត​ស្មើ​នឹង pq(p^2-q^2) ដែល p និង q ជា​ចំនួន​គត់​ធម្មជាតិ ហើយ p>q។ គេ​ស្រង់​ឈ្មោះ​ទេសចរ​ទាំង​នោះ​ដាក់​ក្នុង​បញ្ជី​មួយ​ដោយ​មាន​ចុះ​លេខ​រៀង​ត្រឹម​ត្រូវ។ បង្ហាញ​ថា លេខ​រៀង​របស់​ទេសចរ​ចុងក្រោយ​គេ​បង្អស់​ជា​ពហុគុណ​នៃ​ ៣ ។

ចម្លើយ

[Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​ទូទាំង​ប្រទេស ២០១១ (២) ៖ បង្ហាញ​ថា​មាន​ចំណុច M(x,y,z) ច្រើន​រាប់​មិន​អស់

ចំណុច M_i (x,y,z) មាន​កូអរដោនេ​ជា​ចំនួន​គត់​រ៉ឺឡាទីប ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់

x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3

បង្ហាញ​ថា មាន​ចំណុច M_i (x,y,z)  ច្រើន​រាប់​មិន​អស់​នៅ​ក្នុង​លំហ។

សិស្ស​ពូកែ​កម្ពុជា ២០១១

ចម្លើយ
[Read more...]

លំហាត់​សមីការ​អនុគមន៍​សិស្សពូកែ​ហូឡង់ ១៩៩៩

តាង f:\mathbb{Z} \to \{-1,1\} ជា​អនុគមន៍​មួយ ដែល

f(mn)=f(m)f(n), \forall m,n\in \mathbb{Z}

បង្ហាញ​ថា  មាន​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន  a ដែល 1\le a\le 12  និង  f(a)=f(a+1)=1

(សិស្សពូកែ​ហូឡង់ ១៩៩៩)

ចម្លើយ

[Read more...]

គណនា​លីមីត តាម​វិធី​អាំងតេក្រាល

គណនា​លីមីត

\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{1^{2010}+2^{2010}+3^{2010}+\dotsi+n^{2010}}{n^{2011}}

ចម្លើយ

[Read more...]

គណនា P=sin⁡(2π/4025) sin⁡(4π/4025) sin⁡(6π/4025)…sin⁡(4024π/4025)

គណនា

\displaystyle P=\sin\left(\frac{2\pi}{4025}\right)\sin\left(\frac{4\pi}{4025}\right)\sin\left(\frac{6\pi}{4025}\right)\dotsi \sin\left(\frac{4024\pi}{4025}\right)

ចម្លើយ

[Read more...]

បង្ហាញថា a+b ជាចំនួនការេ

បើ a,b,c ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ដែល

\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}

និង \mathrm{PGCD}(a,b,c)=1 ចូរបង្ហាញថា a+b ជាចំនួនការេ។

ចម្លើយ

[Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​ភ្នំពេញ ២០១១ (១២) ៖ គណនា​ផលបូក 1/u1+1/u2+…

តាង u_0,u_1,u_2,\dotsi,u_n  ជាស្វ៊ីត​នៃ​ចំនួន​ពិត ដែល​បំពេញ​ទំនាក់​ទំនង​ខាង​ក្រោម​៖

(3-u_{n+1})(6+u_n)=18  និង  u_0=3

គណនា

\displaystyle \sum_{k=0}^{2011}{\frac{1}{u_k}}

ចម្លើយ
[Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​ភ្នំពេញ ២០១១ (១០) ៖ គណនា​ផលបូក S=f(1)+f(3)+…

គេឱ្យ

\displaystyle f(n)=\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+2n+1}+\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{n^2-2n+1}}, \forall n \in \mathbb{N}

គណនាផលបូក S=f(1)+f(3)+f(5)+\dotsi+f\left(10^6-3\right)+f\left(10^6-1\right)    ។

ចម្លើយ
[Read more...]