កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​កម្ពុជា​២០១២៖ អនុគមន៍ f កំណត់ដោយ f(x)=a^x /(a^x+√a)

៦. (២០ ពិន្ទុ) អនុគមន៍  f កំណត់​ដោយ  \displaystyle f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt{a}}  ដែល  a  ជា​ចំនួន​ពិត​វិជ្ជមាន​ហើយ​ខុស​ពី  1  ។ គណនា​ផលបូក

\displaystyle S=f\left(\frac{1}{2012}\right)+f\left(\frac{2}{2012}\right)+\cdots+f\left(\frac{2011}{2012}\right)

[Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​កម្ពុជា​២០១២៖ ពហុធា មានឫស​ប្រាំ​ផ្សេង​គ្នា

៥. (១៥ ពិន្ទុ) ពហុធា r(x)=x^5-5x^3-3x^2+2x+1  មានឫស​ប្រាំ​ផ្សេង​គ្នា  a_1,a_2,a_3,a_4,a_5  ហើយ s(x)=-x^2+5  ជា​ពហុធា​មួយ​ទៀត​។ គណនា​ផលគុណ  p=s(a_1)s(a_2)s(a_3)s(a_4)s(a_5) ។ [Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​កម្ពុជា​២០១២៖ ស្វ៊ីត (x_n) កំណត់​ដោយ x_n+1=x_n+x_n-1

ស្វ៊ីត \left( x_n \right)  កំណត់​ដោយ    x_1=1, x_2=1 និង x_{n+1}=x_n+x_{n-1} ចំពោះ n \ge 2 ។ ក. បង្ហាញ​ថា  x_{k+1}.x_{k+2}-x_k.x_{k+3}=(-1)^k ចំពោះ k\in \mathbb{N} ។ ខ. គេ​តាង \mathrm{acot} ជា​អនុគមន៍​ច្រាស​នៃ អនុគមន៍  \cot ។ បង្ហាញ​ថា

\mathrm{acot} x_1 - \mathrm{acot}x_3 - \mathrm{acot}x_5 -\cdots - \mathrm{acot}x_{2011}=\mathrm{acot}x_{2012}

[Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​កម្ពុជា​២០១២៖ សមីការ t^3=3t^2+4t-5 មាន​ឫស​បី​ផ្សេង​គ្នា a,b និង c ។

១១. (២០ ពិន្ទុ) សមីការ  t^3=3t^2+4t-5 មាន​ឫស​បី​ផ្សេង​គ្នា   a,b និង c ។ គណនា​តម្លៃ​លេខ​នៃ

\displaystyle F=\frac{a^7-b^7}{a-b}+\frac{b^7-c^7}{b-c}+\frac{c^7-a^7}{c-a}

[Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​កម្ពុជា​២០១២៖ បង្ហាញ​ថា S(a,b) ចែក​ដាច់​នឹង 5 បើ b មិន​មែន​ជា​ពហុគុណ​នៃ 4

១០. (២០ ពិន្ទុ) គេ​ឲ្យ​ផលបូក S(a,b)=(a+1)^b+(a+2)^b+(a+3)^b+(a+4)^b+(a+5)^b  ដែល a និង b ជា​ចំនួន​គត់​រ៉ឺឡាទីប​វិជ្ជមាន​ពីរ​។ បង្ហាញ​ថា S(a,b)  ចែក​ដាច់​នឹង 5  បើ b មិន​មែន​ជា​ពហុគុណ​នៃ 4 ។ [Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​កម្ពុជា​២០១២៖ បង្ហាញ​ថា f មិន​មែន​ជា​អនុគមន៍​ខួប

៩.​ (១០ ពិន្ទុ) អនុគមន៍  f កំណត់​ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួន​ពិត x  ដោយ  f(x)=\cos x +\cos {x\sqrt{p}}  ដែល  p ជា​ចំនួន​បឋម​។ បង្ហាញ​ថា f  មិន​មែន​ជា​អនុគមន៍​ខួប​លើ​សំណុំ​ចំនួន​ពិត​ទេ​។

[Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​កម្ពុជា​២០១២៖ បង្ហាញ​ថា ⌊x/b⌋=⌊⌊x⌋/b⌋

គេ​តាង  \lfloor x \rfloor ជា​ផ្នែក​គត់​នៃ​ចំនួន​ពិត x  ដែល​កំណត់​ដោយ  \lfloor x \rfloor \le x <\lfloor x \rfloor +1 ។ បង្ហាញ​ថា​បើ b ជា​ចំនួន​គត់​រ៉ឺឡាទីប​វិជ្ជមាន នោះ គេ​បាន

\displaystyle \left \lfloor \frac{x}{b} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{b} \right\rfloor

[Read more...]

កំណែ​លំហាត់​សិស្ស​ពូកែ​កម្ពុជា​២០១២៖ រក​ប្រវែង​អតិបរមា​នៃ​អង្កត់ទ្រូង​របស់​បាត​ប្រអប់

៤. (១៥ ពិន្ទុ) ប្រអប់​មួយ​មាន​បាត​ជា​ចតុកោណកែង​ដែល​មាន​អង្កត់ទ្រូង​​ប្រវែង

\displaystyle D(a)=\frac{a^2-\sqrt{a^4+4}+2}{a}

ដែល  a>0។ រក​ប្រវែង​អតិបរមា​នៃ​អង្កត់ទ្រូង​របស់​បាត​ប្រអប់​។ [Read more...]

វិញ្ញាសា​សិស្ស​ពូកែ​គណិតវិទ្យា​រាជធានី ២០១២ (២)

VIII. ឧបមា​ថា x_k, y_k (k=1,2,3,\cdots 2012) ជា​ចំនួន​ពិត​វិជ្ជមាន និង

x_1+x_2+\cdots +x_{2012}=y_1+y_2+\cdots +y_{2012}=1

ស្រាយបញ្ជាក់​ថា \displaystyle \sum_{k=1}^{2012}\frac{x_ky_k}{x_k+y_k}\le\frac{1}{2} IX. គេ​ឲ្យ \displaystyle P_n=\prod_{k=0}^{n}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{3^k}+\left(\frac{1}{9}\right)^{3^k}\right] ។ គណនា \displaystyle \lim_{n\to+\infty}{P_n} X. រក​តម្លៃ​តូច​បំផុត​នៃ x ដែល x និង y ជា​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន ហើយ

\displaystyle \frac{2011}{2012}<\frac{x}{y}<\frac{2012}{2013}

XI. សិស្ស​ប្រុស​ និង សិស្ស​ស្រី​មួយ​ក្រុម​បាន​ចូលរួម​ប្រកួត​ញ៉ាំ​ភីហ្សា​នៅ​ផ្សារ​ទំនើប​មួយ​។ គេ​ដឹង​ថា ក្នុង​ភីហ្សា​មួយ ត្រូវ​គេ​កាត់​ជា ១២ ដុំ​តូច​ៗ។ សិស្ស​ប្រុស​ម្នាក់​ៗ អាច​ញ៉ាំ​អស់ ៦ ឬ ៧ ដុំ និង សិស្ស​ស្រី​ម្នាក់​ៗ អាច​ញ៉ាំ​អស់ ២ ឬ ៣ ដុំ​។ បើ​គេ​ដាក់​ភីហ្សា​ ៤ ឃើញ​ថា មិន​គ្រប់គ្រាន់​ទេ តែ​បើ​គេ​ដាក់​ភីហ្សា​ ៥ វិញ នោះ​វា​ច្រើន​ពេក​។ តើ​មាន​សិស្ស​ប្រុស និង សិស្ស​ស្រី​ប៉ុន្មាន​នាក់ ដែល​បាន​ចូលរួម​ប្រកួត​។ XII. រក​តម្លៃ​តូច​បំផុត​ និង តម្លៃ​ធំ​បំផុត នៃ​អនុគមន៍ f(x)=x\left(2011+\sqrt{2013-x^2}\right) XIII. គេ​ឲ្យ​គូប ABCDEFGH មាន​ទ្រនុង​ស្មើ ១ ឯកតា ត្រូវ​កាត់​ដោយ​ប្លង់ P មួយ ដែល​​មុខ​កាត់​ទទួល​បាន​គឺ​ជា​ឆកោណ​និយ័ត MNPQRS ។ ស្វ៊ែរ​ផ្ចិត O^មួយ​ចារឹក​ក្នុង​គូប​ប្រសព្វ​ជា​មួយ​ប្លង់ P បាន​រង្វង់​មួយ​។ រក​ផ្ទៃ​ក្រឡា​ S តំបន់​នៅ​ក្នុង​ឆកោណ​និយ័ត ប៉ុន្តែ​នៅ​ក្រៅ​រង្វង់​។

វិញ្ញាសា​សិស្ស​ពូកែ​គណិតវិទ្យា​រាជធានី ២០១២ (១)

I. រក​ចំនួន​គត់​ធំ​បំផុត​មាន​រាង

\displaystyle A=\frac{2013!+2010!}{2012!+2011!}

II. រក​គ្រប់​តម្លៃ​នៃ b ដែល B=\overline{11 \cdots 1}-\overline{bb \cdots b} ជា​ចំនួន​ការេ ដោយ​ដឹង​ថា លេខ 1 មាន 4024 ខ្ទង់ និង b​ មាន 2012 ខ្ទង់​។ III. ដោះស្រាយ​សមីការ \left( x^{2012}+1 \right)\left(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2010}\right)=2012 x^{2011} IV. ចំពោះ​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន n ក្រាប​នៃ​អនុគមន៍​ប៉ារ៉ាបូល y=\left(n^2+n\right) x^2-(2n+1)x+1 កាត់​អ័ក្ស​អាប់ស៊ីស​ត្រង់​ពីរ​ចំណុច A_n និង B_n ។ គណនា \displaystyle \sum_{n=1}^{2012}{A_n B_n} V. គេ​ឲ្យ x,y,z ជា​ចំនួន​ពិត​វិជ្ជមាន។ ស្រាយបញ្ជាក់​ថា

\displaystyle \frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy}\le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)

VI. គេ​ឲ្យ​ស្វ៊ីត {x_n} ជា​ស្វ៊ីត​រួម កំណត់​ដោយ

\displaystyle x_1=1, x_2=2012, x_{n+2}=\sqrt[3]{x_{n+1}^2.x_n}

គណនា \displaystyle \lim_{n\to\infty}{x_n} VII. ABC ជា​ត្រីកោណ​ដែល​មាន​ជ្រុង AB=13, BC=15, AC=14 ។ ចំណុច D, E, F នៅ​លើ​ជ្រុង​ AB, BC, AC រៀង​គ្នា ដែល \displaystyle \frac{AD}{AB}=x, \frac{BE}{BC}=y, \frac{CF}{CA}=z និង \displaystyle x+y+z=\frac{2}{3}, x^2+y^2+z^2=\frac{2}{5} ។ គណនា​ក្រឡាផ្ទៃ​ត្រីកោណ DEF