វិញ្ញាសាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យាអន្តរជាតិ២០១០

ថ្ងៃទីមួយ

1. ចូរកំណត់គ្រប់អនុគមន៍ $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ ចំពោះគ្រប់ $x,y \in \mathbb{R}$ គេមាន

$f(\lfloor x \rfloor y)=f(x)\lfloor f(y) \rfloor$

ដែល $\lfloor a \rfloor$ តាងឱ្យចំនួនគត់ធំបំផុតតែមិនធំជាង $a$ ។

2. គេឱ្យត្រីកោណ $ABC$ ដែលមាន $I$ ជាផ្ចិតរង្ចង់ចារឹកក្នុង និង $\Gamma$ ជារង្វង់ចារឹកក្រៅ ហើយ $AI$ កាត់រង្វង់ $\Gamma$ ម្ដងទៀតត្រង់ $D$ ។ តាង $E$ ជាចំណុចឋិតលើធ្នូ $BDC$ និង $F$ ជាចំណុចឋិតលើអង្កត់ $BC$ ដែល

$\angle BAF=\angle CAE < \frac{1}{2}\angle BAC$

បើ $G$ ជាចំណុចកណ្ដាលរបស់ $IF$ ចូរបង្ហាញថា ចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $EI$ និង $DG$ ឋិតលើរង្វង់ $\Gamma$ ។

3. ចូរកំណត់គ្រប់អនុគមន៍ $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ដែល $\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m \right)$ ជាចំនួនការេចំពោះគ្រប់ $m,n \in \mathbb{N}$ ។

ថ្ងៃទីពីរ

4. តាង $P$ ជាចំណុចមួយឋិតនៅក្នុងត្រីកោណ $ABC$ (ដោយមាន $CA \ne CB$ ) ។ បន្ទាប់ $AP,BP$ និង $CP$ កាត់រង្វង់ $\Gamma$ ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ម្ដងទៀត ត្រង់ $K,L$ និង $M$ រៀងគ្នា។ បន្ទាត់ប៉ះរង្វង់ $\Gamma$ ត្រង់ $C$ កាត់បន្ទាត់ $AB$ ត្រង់ $S$ ។ ចូរបង្ហាញថា បើ $SC=SP$ នោះ $MK=ML$ ។

5. ប្រអប់ $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6$ នីមួយៗ ពីដំបូងឡើយសុទ្ធតែមានកាក់មួយនៅខាងក្នុង។ សកម្មភាពដូចតទៅនេះត្រូវបានអនុញ្ញាត

ប្រភេទ១៖ ជ្រើសរើសប្រអប់មិនទទេ $B_j,1 \le j \le 5$ ។ ដកកាក់មួយចេញពីប្រអប់ $B_j$ រួចថែមកាក់ពីរទៅក្នុងប្រអប់ $B_{j+1}$ ។

ប្រភេទ២៖ ជ្រើសរើសប្រអប់មិនទទេ $B_k,1\le k \le 4$ ។ ដកយកកាក់មួយចេញពី $B_k$ ហើយប្ដូរកាក់ទាំងអស់ដែលមានក្នុងប្រអប់ $B_{k+1}$ និង $B_{k+2}$ នឹងគ្នា។

តើមានលំដាប់លំដោយកំណត់ណាមួយនៃសកម្មភាពទាំងពីរប្រភេទខាងលើដែលនាំឱ្យជាចុងក្រោយប្រអប់ $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$ អស់កាក់រលីង ហើយប្រអប់ $B_6$ មានកាក់ចំនួន $2010^{2010^{2010}}$ ឬទេ?

6. តាង $a_1,a_2,a_3, \dotsi$ ជាស្វ៊ីតនៃចំនួនពិតវិជ្ជមាន និង តាង $s$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $a_n=\max\{a_k+a_{n-k} \mid 1 \le k \le n-1 \}$ ចំពោះគ្រប់ $n>s$ ។ ចូរបង្ហាញថា មានចំនួនគត់វិជ្ជមាន $l \le s$ និង $\mathbb{N}$ ដែល