លំហាត់សតលីសអូឡាំព្យ៉ាដគណិតវិទ្យាអន្តរជាតិ២០០៩ (A3)

November 3, 2010 By វិចិត្រ Leave a Comment

តាង $f$ ជាអនុវត្តន៍ពីសំណុំចំនួនគត់វិជ្ជមានទៅសំណុំចំនួនគត់វិជ្ជមាន ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ $x$ និង $y$ គេមានត្រីកោណមិនសូន្យដែលមានរង្វាស់ជ្រុង $x,f(y),f(y+f(x)-1)$ ។
១) ចូរបង្ហាញថា $f(1)=1$ ។
២) ចូរបង្ហាញថា $f(f(z))=z$ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន $z$ ។
៣) តាង $w\ge z \ge 2$ និង $M=\mathrm{max} \{ f(1),f(2) ,\dotsi,f(w)\}$ ។ ចូរបង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ $t\ge 1$ គេមាន

$\displaystyle f(t) \le \frac{z-1}{w} t+M$

៤) ចូរបង្ហាញថា $f(z) \le z$ ចំពោះគ្រប់ $z \ge 1$ ។
៥) ចូរកំណត់ $f(z)$ ជាអនុគមន៍នៃ $z$ ។

ដោនឡូដចម្លើយ

Open publication – Free publishing – More shortlist

Related Posts

Filed Under: គណិតវិទ្យា, អប់រំ Tagged With: algebra, olympiad, គណិតវិទ្យា