សិស្សពូកែឥណ្ឌូនេស៊ី ២០១០ ៖ សមីការមានឫសជាចំនួនគត់

តាង $x,y,z$ ជាចំនួនគត់ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ

$\displaystyle \frac{2008}{41y^2}=\frac{2z}{2009}+\frac{2007}{2x^2}$

ចូរគណនាតម្លៃធំបំផុត ដែល $z$ អាចមាន។

យើងមាន

$\displaystyle \frac{2008}{41y^2}=\frac{2z}{2009}+\frac{2007}{2x^2}$
$\Leftrightarrow 2008(2009)(2x^2)=2z(41y^2)(2x^2 )+2007(2009)(41y^2 )$
$\Leftrightarrow 251.49.16x^2=4x^2 y^2 z+2007.2009y^2$

យើងមាន $251.49.16x^2$ និង $4x^2y^2z$ សុទ្ធតែចែកដាច់នឹង $4$ ដូច្នេះ $2007.2009.y^2$ ត្រូវតែចែកដាច់នឹង $4$ ដែរ។ ដោយ $2007.2009$ ជាចំនួនសេស ដូច្នេះ $y^2$ ត្រូវតែចែកដាច់នឹង $4$ ។ យើងទាញបាន $y$ ជាចំនួនគូ។ តាង $y=2y_1$ ដែល $y_1$ ជាចំនួនគត់។ ដូច្នេះ

$251.49.16.x^2=4.x^2 y^2 z+2007.2009.y^2$
$\Leftrightarrow 251.49.16.x^2=16.x^2 y_1^2 z+2007.2009.4.y_1^2$
$\Leftrightarrow 251.49.4.x^2=4.x^2 y_1^2 z+2007.2009.y_1^2$

យើងមាន $251.49.4.x^2$ និង $4.x^2y_1^2z$ សុទ្ធតែចែកដាច់នឹង $4$ ដូច្នេះ $2007.2009.y_1^2$ ត្រូវតែចែកដាច់នឹង $4$ ដែរ។ដោយ $2007.2009$ ជាចំនួនសេស ដូច្នេះ $y_1^2$ ត្រូវតែចែកដាច់នឹង $4$ ។ យើងទាញបាន $y_1$ ជាចំនួនគូ។ តាង $y_1=2y_2$ ដែល $y_2$ ជាចំនួនគត់។ដូច្នេះ

$251.49.x^2=4.x^2 y_2^2 z+2007.2009.y_2^2$

ដោយ $251.49.x^2$ និង $4.x^2 y_2^2z$ ចែកដាច់នឹង $x^2$ ដូច្នេះ $2007.2009.y_2^2$ ត្រូវតែចែកដាច់នឹង $x^2$ ដែរ។ យើងមាន
$(2007)(2009)y_2^2=(223)(9)(41)(49)y_2^2=(41)(223)(3^2)(7^2)y_2^2$
ដូច្នេះ $x^2$ ធំបំផុត ស្មើនឹង $3^2.7^2.y_2^2$ (ព្រោះ $2007.2009.y_2^2$ ត្រូវតែចែកដាច់នឹង $x^2$ និង $41,223$ ជាចំនួនបឋម)។ដូច្នេះ

$\displaystyle \frac{2007.2009}{x^2} \ge \frac{2007.2009}{3^2.7^2.y_2^2}=\frac{223.41}{y_2^2}$
$\displaystyle \Leftrightarrow -\frac{2007.2009}{x^2} \le -\frac{223.41}{y_2^2}$

និង

$251.49.x^2=4.x^2 y_2^2 z+2007.2009.y_2^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow 4z=\frac{49.251}{y_2^2}-\frac{2007.2009}{x^2}\le \frac{49.251}{y_2^2}-\frac{223.41}{y_2^2}=\frac{3156}{y_2^2}$
$\displaystyle \Leftrightarrow z\le \frac{789}{y_2^2}$

ដូច្នេះ $z$ ធំបំផុត បើ $y_2$ តូចបំផុត ។ យក $y_2=1$ យើងទទួលបាន $z=789$ និង $x^2=3^2.7^2$ នាំឱ្យ $x=21$ ។ ចំពោះ $y_1=1 \implies y=4$
ដូច្នេះ តម្លៃធំបំផុតរបស់ $z$ ដែលអាចមានគឺ $z_{max}=789$ ដែលតម្លៃធំបំផុតនេះ កើតមាន ឧទាហរណ៍នៅពេលដែល $x=21$ និង $y=4$ ។