កំណែលំហាត់សិស្សពូកែទូទាំងប្រទេសឆ្នាំ២០០៩(១៣)

On 06.10.10, In Education, Mathematics, by វិចិត្រ

គេអោយស្វ៊ីត $\left\{a_n\right\}$ នៃចំនួនពិត កំនត់ដោយ

$a_1=1$ និង $a_{n + 1}=1+a_1a_2 a_3\dotsi a_n$ ចំពោះ $n \geqslant 1$ ។

គណនា $S =\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} {\frac{1}{a_n}}$

សំនួរសិស្សពូកែរាជធានីភ្នំពេញ២០០៨
សំនួរសិស្សពូកែទូទាំងប្រទេស២០១០

ដំនោះស្រាយ

តាង $S_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dotsi+\frac{1}{a_n}$ ។ យើងមាន $a_1= 1; a_2=1+a_1=2$ ។

យើងមាន $a_{n+1}-1=a_1 \dotsi a_n$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\left( a_{n+1}-1 \right) a_{n+1}=a_1 \dotsi a_{n+1}=a_{n+2}-1$

រឺ $\left( a_n-1 \right) a_n =a_{n+1}-1$ ។ ដូច្នេះ

$\displaystyle \frac{1}{\left( a_n-1 \right) a_n}=\frac{1}{a_{n+1}-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_{n+1}-1}$ $\displaystyle \frac{1}{a_2-1}-\frac{1}{a_2}=\frac{1}{a_3-1}$ $\displaystyle \frac{1}{a_3-1}-\frac{1}{a_3}=\frac{1}{a_4-1}$

……………………………………………..

$\displaystyle \frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_n }= \frac{1}{a_{n+1}-1}$

បូកអង្គនឹងអង្គ យើងទាញបាន

$\displaystyle \frac{1}{a_2-1}-\left( S_n-\frac{1}{a_1} \right) =\frac{1}{a_{n+1}-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle 1-S_n+1=\frac{1}{a_{n+1}-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle S_n=2-\frac{1}{{a_{n+1}-1}}$ ។

យើងមាន $a_2= 1+a_1= 2 > a_1 > 0;$ $a_3=1+a_1a_2>a_2, \dotsi$ ដូច្នេះ $a_{n+1}=1+a_1 a_2\dotsi a_n>1+1.2\dotsi 2=1+2^{n-1}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty } a_{n+1}=+\infty$ ។ ដូច្នេះ

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$ $= 2-\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n+1}-1} = 2$ $\Rightarrow$ $S = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{a_n} = 2$