កំណែលំហាត់សិស្សពូកែទូទាំងប្រទេសឆ្នាំ២០០៩(៨)

គេឱ្យចំណុច $M$ មួយនៃកន្លះរង្វង់ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។ រកសំណុំចំណុចនៃចំណុច $M$ កាលណា $A$ ចល័តលើជ្រុង $[0x)$ និង $B$ ចល័តលើជ្រុង $[Oy)$ នៃមុំកែង $xOy$ មួយដោយរក្សាប្រវែង $AB$ ថេរ។

ចម្លើយ

តាង $AB=L$ ។ យើងមាន

$x_I=\frac{L}{2} \sin{\alpha}; y_I=\frac{L}{2}\cos{\alpha}$ $x_M=x_I+\frac{L}{2}\sin{(\theta+\alpha)}=\frac{L}{2}\sin{\alpha}+\frac{L}{2} \sin{(\theta+\alpha)}=L\sin{(\alpha+\frac{\theta}{2})} \cos{(\frac{\theta}{2})}$ $\displaystyle \implies L\sin{(\alpha+\frac{\theta}{2})}=\frac{x_M}{\cos{(\frac{\theta}{2})}}$

$y_M=y_I-\frac{L}{2}\cos{(\theta+\alpha)} = \frac{L}{2}\cos{\alpha}-\frac{L}{2}\cos{(\theta+\alpha)}$ $= L\sin{(\alpha+\frac{\theta}{2})} \sin{(\frac{\theta}{2})}=x_M \tan{\left(\frac{\theta}{2}\right)}$

ដូច្នេះ

$y_M=x_M \tan{\left(\frac{\theta}{2}\right)}$

យើងមាន $x_M$ មានតម្លៃតូចបំផុតពេល $\sin{(\alpha+\frac{\theta}{2})}$ មានតម្លៃតូចបំផុត។ ដោយ

$0\le \alpha \le \frac{\pi}{2} \implies \frac{\theta}{2} \le \alpha+\frac{\theta}{2}\le \frac{\pi}{2}+\theta$

$0\le \frac{\theta}{2} \le \frac{\pi}{2}$ $\implies \min{\sin{(\alpha+\frac{\theta}{2})}=\sin{(\frac{\theta}{2})}}$

ដូច្នេះ $\min{x_M}=\frac{L}{2}\sin{\theta}$ ។

យើងមាន $x_M$ មានតម្លៃធំបំផុតពេល $\sin{(\alpha+\frac{\theta}{2})}=1 \implies \alpha=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}$ ។ ដូច្នេះ $\max{x_M}=L \cos{\frac{\theta}{2}}$ ។