លំហាត់នព្វន្ត ៖ ផ្នែកទសភាគ មានតម្លៃលើសពី 0,999 999

តើមានចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ ដែល

$(2+\sqrt{2})^n-\lfloor (2+\sqrt{2})^n \rfloor$

មានតម្លៃលើសពី $0,999 999$ ឬទេ?

ចម្លើយ

តាមរូបមន្តទ្វេធា
$\displaystyle \left(2+\sqrt{2}\right)^n=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i} 2^{n-i} \left(\sqrt{2}\right)^i }$
$\displaystyle =2^n+\binom{n}{1} 2^{n-1} \left(\sqrt{2}\right)+\binom{n}{2} 2^{n-2} \left(\sqrt{2}\right)^2+\dotsi+\left(\sqrt{2}\right)^n$
$\displaystyle =\left[2^n+\binom{n}{2} 2^{n-2} \left(\sqrt{2}\right)^2+\dotsi \right]+\left[\binom{n}{1} 2^{n-1} \left(\sqrt{2}\right)+\binom{n}{3} 2^{n-3} \left(\sqrt{2}\right)^3+\dotsi \right]$
$\displaystyle =\left[2^n+\binom{n}{2} 2^{n-2} (2)+\dotsi \right]+\left[\binom{n}{1} 2^{n-1}+\binom{n}{3} 2^{n-3} (2)+\dotsi \right] \sqrt{2}$
$=a_n+b_n \sqrt{2}$
$\left(2-\sqrt{2}\right)^n=a_n-b_n \sqrt{2}$
ដែល $a_n$ និង $b_n$ ជាចំនួនគត់។

យើងទាញបាន $\left(2+\sqrt{2}\right)^n+\left(2-\sqrt{2}\right)^n=2a_n$ ជាចំនួនគត់។

យើងមាន $0<\left(2-\sqrt{2}\right)^n<1$ និង $\left(2+\sqrt{2}\right)^n+\left(2-\sqrt{2}\right)^n-1$ ជាចំនួនគត់ និង
$\left(2+\sqrt{2}\right)^n-1<\lfloor(2+\sqrt{2})^n \rfloor\le\left(2+\sqrt{2}\right)^n$
$(2+\sqrt{2})^n-1<(2+\sqrt{2})^n+(2-\sqrt{2})^n-1<(2+\sqrt{2})^n$

ដូច្នេះ

$\lfloor(2+\sqrt{2})^n \rfloor=(2+\sqrt{2})^n+(2-\sqrt{2})^n-1$

និង នាំឱ្យ

$(2+\sqrt{2})^n-\lfloor(2+\sqrt{2})^n \rfloor=1-(2-\sqrt{2})^n$

ដោយ $(2-\sqrt{2})<1$ នោះ ពេល $n$ ចេះតែធំទៅៗ គេមាន $(2-\sqrt{2})^n$ ចេះតែតូចទៅៗ។ ដូច្នេះ គេមាន $n$ ធំចាប់ពីត្រឹមណាមួយទៅ ដែល $(2-\sqrt{2})^n<0,000 001$ ។ នៅពេលនោះ យើងទាញបាន