វិញ្ញាសាសិស្សពូកែគណិតវិទ្យារាជធានី ២០១២ (១)

I. រកចំនួនគត់ធំបំផុតមានរាង

$\displaystyle A=\frac{2013!+2010!}{2012!+2011!}$

II. រកគ្រប់តម្លៃនៃ $b$ ដែល $B=\overline{11 \cdots 1}-\overline{bb \cdots b}$ ជាចំនួនការេ ដោយដឹងថា លេខ 1 មាន $4024$ ខ្ទង់ និង $b$ មាន $2012$ ខ្ទង់។

III. ដោះស្រាយសមីការ $\left( x^{2012}+1 \right)\left(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2010}\right)=2012 x^{2011}$

IV. ចំពោះចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ក្រាបនៃអនុគមន៍ប៉ារ៉ាបូល $y=\left(n^2+n\right) x^2-(2n+1)x+1$ កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ពីរចំណុច $A_n$ និង $B_n$ ។ គណនា $\displaystyle \sum_{n=1}^{2012}{A_n B_n}$

V. គេឲ្យ $x,y,z$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា

$\displaystyle \frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy}\le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)$

VI. គេឲ្យស្វ៊ីត ${x_n}$ ជាស្វ៊ីតរួម កំណត់ដោយ

$\displaystyle x_1=1, x_2=2012, x_{n+2}=\sqrt[3]{x_{n+1}^2.x_n}$

គណនា $\displaystyle \lim_{n\to\infty}{x_n}$

VII. $ABC$ ជាត្រីកោណដែលមានជ្រុង $AB=13, BC=15, AC=14$ ។ ចំណុច $D, E, F$ នៅលើជ្រុង $AB, BC, AC$ រៀងគ្នា ដែល $\displaystyle \frac{AD}{AB}=x, \frac{BE}{BC}=y, \frac{CF}{CA}=z$ និង $\displaystyle x+y+z=\frac{2}{3}, x^2+y^2+z^2=\frac{2}{5}$ ។ គណនាក្រឡាផ្ទៃត្រីកោណ $DEF$ ។

Ratanak

Thank nas !!!
Ratanak

លំហាត់ទី ៣ ខ្ញុំអត់ចេះទេលោកគ្រូ ។
Ratanak

លំហាត់ទី ៣ និងទី ៦ ខ្ញុំអត់ចេះទេលោកគ្រូ ។

http://www.dahlina.com វិចិត្រ

សំនួរទី៣៖ សមីការ មានឫស $x>0$ ។ យើងមានឫសងាយ $x=1$ ។
សមីការអាចសរសេរជា
$\displaystyle \frac{\left(1+x^{2012}\right)\left(1-x^{2012}\right)}{1-x^2}=2012 x^{2011}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left(1-x^{2.2012}\right)=2012x^{2011}\left(1-x^2\right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2012}}-x^{2012}=2012\left(\frac{1}{x}-x\right)$

http://www.dahlina.com វិចិត្រ

យើងមាន
$\displaystyle \frac{1}{x^{2011}}+x^{2011} \geq 2$
$\displaystyle \frac{1}{x^{2009}}+x^{2009} \geq 2$
$\displaystyle \frac{1}{x^{2007}}+x^{2007} \geq 2$
…..
$\displaystyle \frac{1}{x}+x \geq 2$

ដូច្នេះ

$\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{1}{x^{2011}}+x^{2011}\right)+\left(\frac{1}{x^{2009}}+x^{2009}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{x}+x\right)-2012 \geq 2.1006-2012=0$

http://www.dahlina.com វិចិត្រ

អង្គទាំងពីរស្មើគ្នា បើ $x=1$ ។ សមីការមានឫស $x=1$

http://www.dahlina.com វិចិត្រ

$\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{1}{x}-x\right)\left(\frac{1}{x^{2011}}+\frac{1}{x^{2010}}.x+\frac{1}{x^{2009}}.x^2+\cdots+x^{2011}-2012\right)=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{1}{x}-x\right)\left[\left(\frac{1}{x^{2011}}+x^{2011}\right)+\left(\frac{1}{x^{2009}}+x^{2009}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{x}+x\right)-2012\right]=0$

Ratanak

ខ្ញុំសូមអរគុណលោកគ្រូ !!!
ខ្ញុំចង់អោយលោកគ្រូប្រាប់ចម្លើយ អំពីលំហាត់គណនាទាំងអស់ ក្នុងវិញ្ញាសាសិស្សពូកែរាជធានី ២០១២ ។
( ដាក់តែចម្លើយក៏បាន ព្រោះខ្ញុំចង់ផ្ទៀងផ្ទាត់ចម្លើយរបស់ខ្ញុំ )។
សូមអរគុណលោកគ្រូ ម្តងទៀត !!!