កំណែលំហាត់សិស្សពូកែភ្នំពេញ ២០១១ (១២) ៖ គណនាផលបូក 1/u1+1/u2+…

February 26, 2011 By វិចិត្រ Leave a Comment

តាង $u_0,u_1,u_2,\dotsi,u_n$ ជាស្វ៊ីតនៃចំនួនពិត ដែលបំពេញទំនាក់ទំនងខាងក្រោម៖

$(3-u_{n+1})(6+u_n)=18$ និង $u_0=3$

គណនា

$\displaystyle \sum_{k=0}^{2011}{\frac{1}{u_k}}$

ចម្លើយ

តាង $\displaystyle t_k=\frac{1}{u_k}$ ។ ដូច្នេះ $\displaystyle t_0=\frac{1}{3}$ និង

$\displaystyle \left(3-\frac{1}{t_{n+1}}\right)\left(6+\frac{1}{t_{n}}\right)=18$
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{3}{t_{n}}-\frac{6}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_nt_{n+1}}=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow 3t_{n+1}-6t_n-1=0$ (*)
$\displaystyle \Leftrightarrow t_{n+1}=2t_n+\frac{1}{3}$

ដូច្នេះ

$\displaystyle t_1=2t_0+\frac{1}{3}$ …….× $2^{n-1}$
$\displaystyle t_2=2t_1+\frac{1}{3}$ …….× $2^{n-2}$
…
$\displaystyle t_{n-2}=2t_{n-3}+\frac{1}{3}$ …….× $2^2$
$\displaystyle t_{n-1}=2t_{n-2}+\frac{1}{3}$ …….× $2^1$
$\displaystyle t_n=2t_{n-1}+\frac{1}{3}$ …….× $2^0$

គុណសមភាពទី១ ទី២ …. ទី (n-2) ទី (n-1) និង ទី n នឹង $2^{n-1},2^{n-2},\dotsi,2^2,2^1,2^0$ រួចបូកសមភាពទទួលបានបញ្ចូលគ្នា យើងទទួលបាន

$\displaystyle t_n=2^n t_0+\frac{1}{3}\left(1+2+2^2+\dotsi +2^{n-1}\right)$
$\displaystyle =\frac{1}{3}.2^n+\frac{1}{3}\left(1+2+2^2+\dotsi +2^{n-1}\right)$
$\displaystyle =\frac{1}{3}\left(1+2+2^2+\dotsi +2^{n-1}+2^n\right)$
$\displaystyle =\frac{1}{3}\frac{2^{n+1}-1}{2-1}=\frac{1}{3}\left(2^{n+1}-1\right)$

ម្យ៉ាងវិញទៀត តាមសមភាព (*) ដោយ យក $n=0,1,2,\dotsi$ យើងទទួលបាន

$3\left(t_1-t_0\right)=3t_0+1$
$3\left(t_2-t_1\right)=3t_1+1$
$3\left(t_3-t_2\right)=3t_2+1$
…
$3\left(t_{n+1}-t_n\right)=3t_n+1$

បូកសមភាពទាំងនេះបញ្ចូលគ្នា យើងទទួលបាន

$\displaystyle 3S_n+n+1=3\left(t_{n+1}-t_0\right)$
$\displaystyle \implies S_n=\frac{2^{n+2}-n-3}{3}$

ដែល

$\displaystyle S_n=t_0+t_1+t_2+\dotsi+t_n=\sum_{k=0}^{2011}{\frac{1}{u_k}}$

យក $n=2011$ យើងទទួលបាន

$\displaystyle \sum_{k=0}^{2011}{\frac{1}{u_k}}=\frac{2^{2013}-2014}{3}$

Be Sociable, Share!

Tweet

Related Posts

Filed Under: គណិតវិទ្យា, អប់រំ Tagged With: algebra, olympiad, គណិតវិទ្យា

Recent Comments Gravatars

monida on ចំរៀងរបស់ លោកស៊ិន ស៊ីសាមុត (Sin Sisamut)
simon lee on ចំរៀងរបស់ លោកស៊ិន ស៊ីសាមុត (Sin Sisamut)
monida on បាយមាន់ស្ងោរ
រដ្ឋ on បាយមាន់ស្ងោរ
ព័ត៌មានវិទ្យាថ្មីៗ, រៀនពីរបៀបសរសេរកម្មវិធីនៅលើកុំព្យូទ័រនិងទូរស័ព្ទ on កំណែលំហាត់សិស្សពូកែទូទាំងប្រទេស២០០៩ (14)
ព័ត៌មានវិទ្យាថ្មីៗ, រៀនពីរបៀបសរសេរកម្មវិធីនៅលើកុំព្យូទ័រនិងទូរស័ព្ទ on កំណែលំហាត់សមីការអនុគមន៍៖ សំនួរផ្ញើទៅ IMO 1996
ព័ត៌មានវិទ្យាថ្មីៗ, រៀនពីរបៀបសរសេរកម្មវិធីនៅលើកុំព្យូទ័រនិងទូរស័ព្ទ on កំណែលំហាត់សមីការអនុគមន៍ – សិស្សពូកែអ៊ីរ៉ង់ ១៩៩៩
ព័ត៌មានវិទ្យាថ្មីៗ, រៀនពីរបៀបសរសេរកម្មវិធីនៅលើកុំព្យូទ័រនិងទូរស័ព្ទ on កំណែលំហាត់សមីការអនុគមន៍៖ IMO 1983
ព័ត៌មានវិទ្យាថ្មីៗ, រៀនពីរបៀបសរសេរកម្មវិធីនៅលើកុំព្យូទ័រនិងទូរស័ព្ទ on លំហាត់នព្វន្ត៖ សិស្សពូកែអាមេរិច AIME ១៩៩៥
ព័ត៌មានវិទ្យាថ្មីៗ, រៀនពីរបៀបសរសេរកម្មវិធីនៅលើកុំព្យូទ័រនិងទូរស័ព្ទ on កំណែលំហាត់សមីការមានឫសជាចំនួនគត់ (IMO Shortlist 1991)
ព័ត៌មានវិទ្យាថ្មីៗ, រៀនពីរបៀបសរសេរកម្មវិធីនៅលើកុំព្យូទ័រនិងទូរស័ព្ទ on លំហាត់នព្វន្ត ៖ ផ្នែកទសភាគ មានតម្លៃលើសពី 0,999 999
maths24h on វិស្វករធ្លាក់នរក
Borin on នី មុល្លីកាផ្តាច់ពាក្យពីគូដណ្តឹង
Wowindow Touchsaracosa on ចំរៀងរបស់ លោកស៊ិន ស៊ីសាមុត (Sin Sisamut)
monida on ណែមត្រី