សិស្សពូកែរុស្ស៊ី ២០១០ ៖ បង្ហាញថា 20(b-a) មិនមែនជាចំនួនគត់។

February 20, 2011 By វិចិត្រ Leave a Comment

តាង $a\ne b,a,b\in \mathbb{R}$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់

$(x^2+20ax+10b)(x^2+20bx+10a)=0$

គ្មានឫស សម្រាប់ $x$ ។ បង្ហាញថា $20(b-a)$ មិនមែនជាចំនួនគត់។

ចម្លើយ

សន្មតថា $20(b-a)$ ជាចំនួនគត់ និង $b>a$ ។ ដូច្នេះ

$20(b-a)>0 \Leftrightarrow 20(b-a)\ge 1$
$\displaystyle \implies b-a\ge \frac{1}{20}$
$\displaystyle \implies a\le b-\frac{1}{20}$

ដើម្បីឱ្យសមីការ

$(x^2+20ax+10b)(x^2+20bx+10a)=0$

គ្មានឫស នោះត្រូវតែ

$\displaystyle \Delta =100b^2-10a<0 \implies 10b^2<a$

$\displaystyle \implies 10b^2<a \le b-\frac{1}{20}$

$\displaystyle \implies 10b^2-b+\frac{1}{20}<0$

តែ $10b^2-b+\frac{1}{20}>0$ ចំពោះគ្រប់ $b$ ព្រោះ

$\Delta=1-4(10)(\frac{1}{20})=-1<0$

ដូច្នេះ ការសន្មតមិនអាចពិត មានន័យថា $20(b-a)$ មិនអាចជាចំនួនគត់ទេ។

Related Posts

Filed Under: គណិតវិទ្យា, អប់រំ Tagged With: algebra, number theories, olympiad, គណិតវិទ្យា