លំហាត់ស្វ៊ីតសិស្សពូកែវៀតណាម ២០១១

គេកំណត់ស្វ៊ីត $\{a_n\}$ នៃចំនួនគត់មួយ ដោយ

$a_0=1,a_1=-1,a_n=6a_{n-1}+5a_{n-2};\forall n \ge 2$

ចូរបង្ហាញថា $a_{2012}-2010$ ចែកដាច់នឹង $2011$ ។

ចម្លើយ

យើងកំណត់ ស្វ៊ីត $\{b_n\}$ មួយ ដោយ
$b_0=1,b_1=-1,$
$b_n=6b_{n-1}+5b_{n-2}+2011b_{n-2}=6b_{n-1}+2016b_{n-2}$
យើងមាន
$a_0 \equiv b_0 \mod 2011$
$a_1 \equiv b_1 \mod 2011$
$a_2=6a_1+5a_0 \equiv 6b_1+5b_0 \mod 2011$
តែ $6b_1+5b_0 \equiv 6b_1+5b_0+2011b_0 =b_2 \mod 2011$ ដូច្នេះ $a_2\equiv b_2 \mod 2011$ ។ សន្មតថា ពិតរហូតដល់ $n$ គឺ $a_n \equiv b_n \mod 2011$ និង $a_{n-1} \equiv b_{n-1} \mod 2011$ ។ យើងនឹងបង្ហាញថា

$a_{n+1}\equiv b_{n+1} \mod 2011$

យើងមាន

$a_{n+1}=6a_n+5a_{n-1}\equiv 6b_n+5b_{n-1} \mod 2011$

តែ $6b_n+5b_{n-1}\equiv 6b_n+5b_{n-1}+2011b_{n-1}=b_{n+1} \mod 2011$ ។ ដូច្នេះ $a_{n+1}\equiv b_{n+1} \mod 2011$ ។ ដូច្នេះ $a_n\equiv b_n \mod 2011$ ចំពោះគ្រប់ $n\ge 0$ ។
ដូច្នេះ បង្ហាញថា $a_{2012}-2010$ ចែកដាច់នឹង $2011$ គឺដូចគ្នានឹងបង្ហាញថា $b_{2012}-2010$ ចែកដាច់នឹង $2011$ ដែរ។
សមីការ $x^2-6x-2016=0$ មានឫស $x_1=48$ និង $x_2=-42$ ។ ដូច្នេះ ស្វ៊ីត

$b_n=6b_{n-1}+2016b_{n-2}$

មានចម្លើយទូទៅ ដែលមានរាង $b_n=\alpha (48)^n+\beta (-42)^n$ ។ យើងមាន $b_0=1=\alpha +\beta$ និង $b_1=-1=48\alpha-42\beta$ ។ ដូច្នេះ

$\displaystyle \alpha=\frac{41}{90}; \beta=\frac{49}{90}$

និង

$\displaystyle b_n=\frac{41}{90} (48)^n+\frac{49}{90} (-42)^n$

ដូច្នេះ

$\displaystyle b_{2012}=\frac{41}{90}(48)^{2012}+\frac{49}{90} (42)^{2012}$

យើងមាន $2011$ ជាចំនួនបឋម។ តាមកូនទ្រឹស្ដីបទភែម៉ា ចំពោះចំនួនបឋម $p$ និង ចំនួនគត់វិជ្ជមាន $a$ គេមាន

$a^p \equiv a \mod p$

ដូច្នេះ $48^{2011}\equiv 48 \mod 2011$ និង $42^{2011}\equiv 42 \mod 2011$ ។ ដូច្នេះ

$48^{2012}\equiv 48^2=2304 \equiv 293 \mod 2011$
$42^{2012}\equiv 42^2=1764 \mod 2011$

ដូច្នេះ $41(48)^{2012}+49(42)^{2012}\equiv 41(293)+49(1764)=98449 \equiv 1921 \mod 2011$ ។ ដូច្នេះ $90b_{2012}\equiv 1921 \mod 2011$ ។ យើងទាញបាន

$90(b_{2012}-2010)\equiv 1921-90(2010)=-178979\equiv 0 \mod 2011$

ដូច្នេះ $90(b_{2012}-2010)$ ចែកដាច់នឹង $2011$ ។ ដោយ $90$ បឋមនឹង $2011$ ដូច្នេះ ត្រូវតែ $b_{2012}-2010$ ចែកដាច់នឹង $2011$ ។ ដូច្នេះ $a_{2012}-2010$ ចែកដាច់នឹង $2011$ ។