បង្ហាញថា x1^n+x2^n ជាចំនួនគត់ចែកមិនដាច់នឹង 5

ចូរបង្ហាញថា បើ $x_1$ និង $x_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $x^2-6x+1=0$ នោះ $x_1^n+x_2^n$ ជាចំនួនគត់ចែកមិនដាច់នឹង $5$ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ ។

ចម្លើយ

ចំពោះ $n=1$ និង $n=2$ យើងមាន

$x_1+x_2=6$
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2 )^2-2x_1 x_2=6^2-2.1=34$

សុទ្ធតែជាចំនួនគត់ ហើយចែកមិនដាច់នឹង $5$ ។ យើងមាន

$x_1^n+x_2^n=(x_1+x_2 )\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)-x_1 x_2 \left(x_1^{n-2}+x_2^{n-2}\right)$
$=6\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)-1.\left(x_1^{n-2}+x_2^{n-2}\right)$
$=5\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)+\left[\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)-\left(x_1^{n-2}+x_2^{n-2}\right)\right]$ (1)

តាមវិចារដោយកំណើនតាម $n$ យើងទាញបានថា ដោយសារ $x_1^{n-2}+x_2^{n-2}$ និង $x_1^{n-1}+x_2^{n-1}$ ជាចំនួនគត់ នោះ $x_1^n+x_2^n$ ជាចំនួនគត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ ។
ពេលនេះយើងសន្មតថាមានចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ ដែល $x_1^n+x_2^n$ ចែកដាច់នឹង $5$ ។ សន្មតថា ក្នុងចំណោមចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ ទាំងនោះ $m$ ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិតូចជាងគេ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $x_1^m+x_2^m$ ចែកដាច់នឹង $5$ ។ សមភាព (1) ទៅជា

$x_1^m+x_2^m=5\left(x_1^{m-1}+x_2^{m-1}\right)+\left[\left(x_1^{m-1}+x_2^{m-1}\right)-\left(x_1^{m-2}+x_2^{m-2}\right)\right]$

ដោយ $x_1^m+x_2^m$ និង $5(x_1^{m-1}+x_2^{m-1})$ ចែកដាច់នឹង $5$ ដូច្នេះ $(x_1^{m-1}+x_2^{m-1})-(x_1^{m-2}+x_2^{m-2})$ ត្រូវតែចែកដាច់នឹង $5$ ដែរ។
ក្នុងសមភាព (1) យើងជំនួស $n$ ដោយ $m-1$ យើងទទួលបាន

$x_1^{m-1}+x_2^{m-1}=5\left(x_1^{m-2}+x_2^{m-2}\right)+\left[\left(x_1^{m-2}+x_2^{m-2}\right)-\left(x_1^{m-3}+x_2^{m-3}\right)\right]$
$\implies \left(x_1^{m-3}+x_2^{m-3}\right)= 5\left(x_1^{m-2}+x_2^{m-2}\right)-\left[\left(x_1^{m-1}+x_2^{m-1}\right)-\left(x_1^{m-2}+x_2^{m-2}\right)\right]$

ដូច្នេះនាំឱ្យ $(x_1^{m-3}+x_2^{m-3})$ ចែកដាច់នឹង $5$ ។ តែលក្ខខណ្ឌនេះផ្ទុយនឹងការសន្មតដែលថា $m$ ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិតូចជាងគេ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $x_1^m+x_2^m$ ចែកដាច់នឹង $5$ ។ ដូច្នេះយើងសន្និដ្ឋានបានថា គ្មានចំនួនគត់ធម្មជាតិណាដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $x_1^n+x_2^n$ ចែកដាច់នឹង $5$ នោះទេ។

rainymathboy

ចូររកកំហុសក្នុងដំណោះស្រាយរបស់ខ្ញុំៈ

យើងមានសមីការ ${{x}^{2}}-6x+1=0$
ដោយ ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ ជាឬសនៃសមីការ យើងទាញបាន
${{x}_{1}}^{2}-6{{x}_{1}}+1=0\left| \times {{x}_{1}}^{n-1} \right.$
${{x}_{2}}^{2}-6{{x}_{2}}+1=0\left| \times {{x}_{2}}^{n-1} \right.$
បូកអង្គនិងអង្គ យើងបាន
$({{x}_{1}}^{n+1}+{{x}_{2}}^{n+1})-6({{x}_{1}}^{n}+{{x}_{2}}^{n})+({{x}_{1}}^{n-1}+{{x}_{2}}^{n-1})=0$
តាង ${{S}_{n}}={{x}_{1}}^{n}+{{x}_{2}}^{n}$
នោះ ${{S}_{n+1}}-6{{S}_{n}}+{{S}_{n-1}}=0$
ឬ ${{S}_{n+1}}=6{{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}$

ខ្ញុំស្រាយថា ${{S}_{n}}$ ចែកមិនដាច់នឹង៥ តាមវិចារកំណើន

បើ $n=1:{{S}_{1}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6$ ចែកមិនដាច់នឹង៥
ឧបមាពិតដល់ $n=k$
គឺ ${{S}_{1}},{{S}_{2}},\dotsi,{{S}_{k-1}},{{S}_{k}}$ ចែកមិនដាច់នឹង៥
ស្រាយបន្តថាពិតដល់ $n=k+1$
យើងមាន
${{S}_{k+1}}=6{{S}_{k}}-{{S}_{k-1}}$
តាមការឧបមា ${{S}_{k-1}}$ និង ${{S}_{k}}$ ចែកមិនដាច់នឹង៥
នោះ ${{S}_{k+1}}=6{{S}_{k}}-{{S}_{k-1}}$ ក៏ចែកមិនដាច់នឹង៥ដែរ

ដូចនេះ ${{S}_{n}}={{x}_{1}}^{n}+{{x}_{2}}^{n}$ ចែកមិនដាច់នឹង៥។
http://www.dahlina.com វិចិត្រ

គឺខុសត្រង់ ប្រើគោលការណ៍វិចារដោយកំនើនតាម $n$ ខុស។
- បើយើងមាន $P(1)$ ពិត យើងអាចសន្មតថា $P(k)$ ពិត តែមិនអាចសន្មតថា $P(k)$ និង $P(k-1)$ ពិតព្រមគ្នាបានទេ។
- តែបើយើងមាន $P(1)$ និង $P(2)$ ពិត នោះទើបយើងអាចសន្មតថា $P(k)$ និង $P(k-1)$ ពិតបាន។

ឧទាហរណ៍ តាង $P(n)=n$ ។ យើងមាន $P(1)=1$ ។ សន្មតថា $P(n)=1$ រហូតដល់ $n=k$ ។ ដូច្នេះ $P(k)=1, P(k-1)=1$ (តែតាមពិតមិនអាចសន្មតដូច្នេះបានទេ)។ យើងមាន $P(k+1)=k+1; P(k-1)=k-1; P(k+1)+P(k-1)=2k=2P(k)$ ។ ដូច្នេះ $P(k+1)=2P(k)-P(k-1)=2(1)-1=1$ ដូច្នេះ $P(n)=1$ ចំពោះគ្រប់ $n$ ។
http://www.dahlina.com វិចិត្រ

ដើម្បីកែ Rainy ត្រូវបង្ហាញថា $S_2$ ចែកមិនដាច់នឹង 5 សិន ។
តែនៅមានកំហុសមួយទៀត គឺ $S_k$ និង $S_{k-1}$ ចែកមិនដាច់នឹង 5 មិនអាចនាំអោយ $6S_k -S_{k-1}$ ចែកមិនដាច់នឹង 5 បានទេ។ ឧទាហរណ៍ $S_k=5p+1, S_{k+1}=5q+1$ ដូច្នេះ $6S_k -S_{k-1}=30p+6-5q-1=30p-5q+5$ ចែកដាច់នឹង 5 ។